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证明3阶群必是循环群:
设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群。
证明在同构意义下4阶群仅有两种:
设该群为G,因为ord(G)=4=2*2=4*1,所以任取a∈G且a≠1,必有ord(a)=2或4。
若ord(a)=4,则G=<a>;若ord(a)=2,则存在b≠a且b≠1,使得b∈G,又由ab、ba∈G可推得ab=ba,因此G=(1,a,b,ab),即G=<a,b>。在同构意义下4阶群就这两种:含有一个四阶元素或两个两阶元素。
希望你能理解。
设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群。
证明在同构意义下4阶群仅有两种:
设该群为G,因为ord(G)=4=2*2=4*1,所以任取a∈G且a≠1,必有ord(a)=2或4。
若ord(a)=4,则G=<a>;若ord(a)=2,则存在b≠a且b≠1,使得b∈G,又由ab、ba∈G可推得ab=ba,因此G=(1,a,b,ab),即G=<a,b>。在同构意义下4阶群就这两种:含有一个四阶元素或两个两阶元素。
希望你能理解。
追问
请问ord(a)是什么意思?
追答
就是a的阶,或者用|a|表示
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