如图,在三角形ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过点E、分别作AC、BC的垂线相交于

P求证:角PAE=角PBF(DM,ME,DN,NF为辅助线,其中DM//BP,DN//AP)其他我已证明,只要证明角EAM=角AME就行了。... P求证:角PAE=角PBF(DM,ME,DN,NF为辅助线,其中DM//BP,DN//AP)
其他我已证明,只要证明角EAM=角AME就行了。
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飘渺的绿梦
2012-04-14 · TA获得超过3.5万个赞
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延长AE至G,使EG=AE;再延长BF至H,使FH=BF。
∵AE=EG、PE⊥AG,∴PG=PA。······①
∵BF=FG、PF⊥BH,∴PB=PH。······②
∵E、D分别是AG、AB的中点,∴DE=BG/2。······③
∵D、F分别是AB、BH的中点,∴DF=HA/2。······④
由③、④,结合题设的DE=DF,得:BG=HA。······⑤
由①、②、⑤,得:△PBG≌△PHA,∴∠BPG=∠HPA,∴∠APG+∠APB=∠APB+∠HPB,
∴∠APG=∠HPB,又PA=PG、PB=PH,∴∠PAE=∠PBF。
追问
谢谢你了   不过我只想知道为什么角EAM=角AME
追答
∠EAM=∠AME是不能恒成立的。

下面用一个特例来说明:
令△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形,则:∠CAB=∠CBA=45°。
分别延长CA、CB至E、F,使AE=AC、BF=BC。
∵∠CAB=∠CBA=45°,∴∠DAE=∠DBF=135°,又AD=BD、AE=BF,
∴△ADE≌△BDF,∴DE=DF。
[即能在CA、CB的延长线上各取点E、F,使DE=DF,且AE=BF=AC=BC。]

∵CE⊥FC、CE⊥PE、FC⊥PF,∴PECF是矩形,又显然有EC=FC,
∴矩形PECF是正方形,∴PE=2AE,∴由勾股定理,容易算出:PA=√5AE,
∴AM=(√5/2)AE>AE,∴此时∠AEM>∠AME。

∵M是Rt△PAE中斜边上的中点,∴AM=EM,∴∠EAM=∠AEM。
由∠AEM>∠AME、∠EAM=∠AEM,得:∠EAM>∠AEM。
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