Question

如图，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过点E、分别作AC、BC的垂线相交于

P求证：角PAE=角PBF（DM,ME,DN,NF为辅助线，其中DM//BP，DN//AP）
其他我已证明，只要证明角EAM=角AME就行了。

Answer 1

延长AE至G，使EG＝AE；再延长BF至H，使FH＝BF。
∵AE＝EG、PE⊥AG，∴PG＝PA。······①
∵BF＝FG、PF⊥BH，∴PB＝PH。······②
∵E、D分别是AG、AB的中点，∴DE＝BG/2。······③
∵D、F分别是AB、BH的中点，∴DF＝HA/2。······④
由③、④，结合题设的DE＝DF，得：BG＝HA。······⑤
由①、②、⑤，得：△PBG≌△PHA，∴∠BPG＝∠HPA，∴∠APG＋∠APB＝∠APB＋∠HPB，
∴∠APG＝∠HPB，又PA＝PG、PB＝PH，∴∠PAE＝∠PBF。

追问

谢谢你了 不过我只想知道为什么角EAM=角AME

追答

∠EAM＝∠AME是不能恒成立的。

下面用一个特例来说明：
令△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则：∠CAB＝∠CBA＝45°。
分别延长CA、CB至E、F，使AE＝AC、BF＝BC。
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠DAE＝∠DBF＝135°，又AD＝BD、AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF，∴DE＝DF。
［即能在CA、CB的延长线上各取点E、F，使DE＝DF，且AE＝BF＝AC＝BC。］

∵CE⊥FC、CE⊥PE、FC⊥PF，∴PECF是矩形，又显然有EC＝FC，
∴矩形PECF是正方形，∴PE＝2AE，∴由勾股定理，容易算出：PA＝√5AE，
∴AM＝（√5/2）AE＞AE，∴此时∠AEM＞∠AME。

∵M是Rt△PAE中斜边上的中点，∴AM＝EM，∴∠EAM＝∠AEM。
由∠AEM＞∠AME、∠EAM＝∠AEM，得：∠EAM＞∠AEM。