Question

已知x=1是函数f(x)=ax^3-3(a+1)x^2+bx+1的一个极值点，其中a,b∈R，a<0 （1）求a与b的关系式

已知x=1是函数f(x)=ax^3-3(a+1)x^2+bx+1的一个极值点，其中a,b∈R，a<0
（1）求a与b的关系式
（2）求f(x)的单调区间
（3）当x∈闭区间-1，1时，函数y=f(x)的图像上任意一点的切线斜率恒大于3a，求a的取值范围

Answer 1

极值点为x=1吧？
f'(x)=3ax^2-6(a+1)x+b
f'(1)=3a-6(a+1)+b=0, 得-3a-6+b=0, 即b=3a+6

2) a=0时，f'(x)=-6x+b=6(1-x)
x<1时单调增，
x>1时单调减
a<0时， f'(x)=0的另一根为x2=2(a+1)/a-1=1+2/a
因为a<0, 因此x2<1
因此x<x2时或x>1时，单调减
x2<x<1时，单调增