Question

已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3,则满足方程f(x)=2+/x的所有

已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3,则满足方程f(x)=2+/x的所有根之和为?
/x就是根号下x

Answer 1

∵f(x)为(0,+∞)的单调函数，f(f(x)-log2x)=3
令f(x)-log2x=t, ∴t为定值（单调）
∴f(x)=log2x+t 且f(t）=3
∴log2t+t=3,
∴log2t=3-t
用图解法解得：t=2
∴f(x)=2+log2x
方程f(x)=2+√x
即 log2x=√x
画图y=log2x与y=√x有2个交点 （4，2），（16，4）
方程的解为x1=4,x2=16
所有根之和为 20

Answer 2

f(x)单调，
对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3
说明f(x)-log2x为常数，设为C
f(x)=log2x+C
代入f(c)=3
log2(C)+C=3 两边同时取2的次幂
c*(2^c)=8 c=2
f(x)=log2x+2
满足log2x+2=2+√x log2x=√x x=4或16
2个根，和为20