Question

已知函数f(x)=2cosx平方+2根号3sinxcosx+1

已知函数f(x)=2cosx平方+2根号3sinxcosx+1.
(1)若x属于[o,π]时，f(x)=a有两异根，求a的取值范围及两根之和。
(2)函数y=f(x),x属于[π/6,7π/6]的图像与直线y=4围成图形的面积是多少？

Answer 1

f(x)=2cos²x+2√3•sinxcosx+1=1+cos2x+√3•sin2x+1=2sin(2x+π/6)+2。
(1)若x∈[0，π]，则(2x+π/6)∈[π/6，2π+π/6]，从而f(x)的值域为[0，4]，
由图可知，当且仅当a∈(0，3)∪(3，4)时，f(x)=a恰有两相异实根，(当a=3时有三个相异实根)
故所求a的取值范围是(0，3)∪(3，4)。
当a∈(0，3)时两根之和为4π/3；a∈(3，4)时两根之和为π/3。
(2)由图可知，函数y=f(x)，x∈[π/6,7π/6]的图像与直线y=4围成图形的面积是2π。
提示：可用积分求；也可通过补形求——将直线y=2下方的图形沿对称轴x=2π/3分开，分别补到直线y=2的上方、y=f(x)，x∈[π/6,7π/6]的图像下方，可将原图补成长为π，宽为2的矩形。