Question

已知函数f(x)=alnx-ax-3,若函数y=f(x)的图像再点（2，f(2))处的切线的倾斜角为慰45度，问m在什么范围时

与任意的t[1,2],函数g(x）=x^3+x^2[m/2+F(x)']在区间（t,3)内总有极值

Answer 1

由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得， f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2， 则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x,g'(x)=3x^2+(4+m)x-2, 题中说函数不单调，也就是说在(t,3)范 围内，g'(x)=0有解， 因为g'(0)=-2<0, 所以当且仅当g'(t)<0且g'(3)>0时方程有 解， 3t^2+(4+m)t-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0, 解之得-37/3<m<2/t-3t-4,又因为 t∈[1,2], 所以-37/3<m<－9

Answer 2

a=-2,m【-3，-1】

Answer 3

f(x)=alnx-ax-3, f'(x)=a/x-a
∵图像再点（2，f(2))处的切线的倾斜角为慰45度
∴f'(2)=tan45º=1,∴a/2-a=1 ∴a=-2
g(x)=x^3+x^2[m/2+f'(x)]=x^3+x^2(m/2-2/x+2)
g(x)=x^3+(2+m/2)x^2-2x
g'(x)=3x^2+(4+m)x-2
依题意存在x∈(2,3),使得g'(x)=0成立
即3x^2+(4+m)x-2=0
m+4=2/x-3x
设 u=2/x-3x，x∈(2,3)
u'=-3-2/x^2<0
∴ u=2/x-3x，x∈(2,3)为减函数
∴u∈(-25/3,-5)
由 -25/3<m+4<-5
得 -37/3<m<-9