Question

已知函数f(x)=x^3-ax+10，在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围

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Answer 1

本题的含义是：x^3-ax+10<a在[1,2]内有解
即a(x+1)>x^3+10在[1,2]内有解，
也即a>(x^3+10)/(x+1)在[1,2]内有解，
只需a大于函数g(x)=(x^3+10)/(x+1)在[1,2]上的最小值即可。
g'(x)=[3x²(x+1)-(x^3+10)]/(x+1)²
令g'(x)=0得，

Answer 2

x^3-ax+10<a在[1,2]内有解
即a(x+1)>x^3+10在[1,2]内有解，
x^3+10)在[1,2]内单调增，
只需a(x+1)>大于函数g(x)=(x^3+10)在[1,2]上的最小值即可。
代入x＝1
a>=11／2
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希望对你有帮助。

Answer 3

令g(x)=x^3-ax+10-a,g'(x)=3x^2-a,
当a<0时，g'(x)>0,所以在[1,2]上g(x)的最小值为g(1)=11-2a<0即a>11/2,所以a不存在；
当a>0时，g'(x)=0,即x=√a/3或x=-√a/3
1.当√a/3<1时，即0<a<3时，g(x)在[1,2]上单增，g(1)=11-2a<0即a>11/2,所以a也不存在；
2.当√a/3>=1时，即a>=3时，最小值为g(√a/3)=-2a√a/3/3+10-a<0,则解得a为一切实数，所以a>=3
综上：a>=3