Question

已知a+b+c=3,a³+b³+c³=3，求a²+b²+c²的值。

Answer 1

设X=a²+b²+c²
a+b+c=3
平方得
(a+b+c)²=9
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=9
2ab+2bc+2ca=9-(a²+b²+c²)=9-X...................(1)
立方得
(a+b+c)³=27
a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3bc²+3b²c+3a²c+3ac²+6abc=27
3+3a²b+3ab²+3bc²+3b²c+3a²c+3ac²+6abc=27
a²b+ab²+bc²+b²c+a²c+ac²+2abc=8
(a²+b²+c²)(a+b+c)-a³+b³+c³+2abc=8
3(a²+b²+c²)-3+2abc=8
2abc=11-3(a²+b²+c²)=11-3X...............(2)

a³+b³+c³
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)+3abc..........(3)

3=3(X-(9-X)/2)+3(11-3X)/2
解得
X=3
a²+b²+c²=3

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