Question

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．
（1）如图1，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明．
不用平行四边形、相似三角形、圆的知识，要详细过程

Answer 1

解：（1）AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH‖AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF

Answer 2

解：（1）AE=EF； 证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H． 则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE， ∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°， ∴EH=EC． ∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°， 又∠AHE=180°-∠BAC=120°， ∴∠AHE=∠FCE， ∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC， ∴△AEH≌△FEC， ∴AE=EF； （2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化． 证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE， ∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB ∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC ∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°． ∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF ∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF， ∴∠EAC=∠EFC， ∴△AEH≌△FEC， ∴AE=EF； （3）猜想：（1）中的结论发生变化． 证明：过点E作EH‖AB交AC于点H． 由（2）可得∠EAC=∠EFC， ∠AHE=∠DCB=∠ECF， ∴△AEH∽△FEC， ∴AE：EF=EH：EC， ∵EH‖AB， ∴△ABC∽△HEC， ∴EH：EC=AB：BC=k， ∴AE：EF=k， ∴AE=kEF

Answer 3

AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；