Question

这个积分怎么做

Answer 1

两个积分可以各算各的，你可以写在一起计算，我这里为了书写方便，分成两个算。
∫[0--->2π] sin²2θ dθ
=(1/2)∫[0--->2π] (1-cos4θ) dθ
=(1/2)(θ-(1/4)sin4θ) |[0--->2π]
=π
∫[0--->R] √(R²-r²)*r⁵ dr
令√(R²-r²)=x，则R²-r²=x²，两边微分后得：-rdr=xdx，x：R---->0
因此原积分中的√(R²-r²)=x，r⁴=(R²-x²)²，正好还剩下rdr，则rdr=-xdx
=-∫[R--->0] x*(R²-x²)²*x dx
交换积分限，去掉负号
=∫[0--->R] x²(R²-x²)² dx
=∫[0--->R] x²(R⁴-2R²x²+x⁴) dx
=∫[0--->R] (R⁴x²-2R²x⁴+x⁶) dx
=(R⁴/3)x³-(2R²/5)x⁵+(1/7)x⁷ |[0--->R]
=R⁷(1/3-2/5+1/7)
=(8R⁷)/105

原式=(1/4)π*(8R⁷)/105=(2πR⁷)/105

Answer 2

换元