Question

已知a，b，c属于正实数，求证求证(a/b+b/c+c/a)(b/a+c/b+a/c)大于等于9

Answer 1

先把这个式子里的代数式通分，然后再把分子相乘出来，接着在把乘出来的代数式，与分母相除，就得到（a^3c^3+c^4ab+a^3C^3+a^4bc+b^4ac+a^3b^3）÷(abc)^2+3,然后再将（a^3c^3+c^4ab+a^3C^3+a^4bc+b^4ac+a^3b^3）与分母相除得到（a^2/bc+c^2/ab+b^2/ac+bc/a^2+ab/c^2+ac/b^2+3)然后我们就发现（a^2/bc+c^2/ab+b^2/ac+bc/a^2+ab/c^2+ac/b^2）这个式子里是3组互为倒数的，然后根据倒数的原则：两个互为倒数的正数相加的值一定≥2，因为是三组，a b c又都是正实数，所以（a^2/bc+c^2/ab+b^2/ac+bc/a^2+ab/c^2+ac/b^2）一定≥6，又因为上面还有个3，所以（a^2/bc+c^2/ab+b^2/ac+bc/a^2+ab/c^2+ac/b^2+3)就≥9
所以（a^3c^3+c^4ab+a^3C^3+a^4bc+b^4ac+a^3b^3）÷(abc)^2+3就≥9
所以(a/b+b/c+c/a)(b/a+c/b+a/c)就≥9