Question

(2/3)为焦点在X轴且具有公共焦点F1F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，p是两曲线的一个公...

(2/3)为焦点在X轴且具有公共焦点F1F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，p是两曲线的一个公共点，且满足2/op/=/F1F2/

Answer 1

找不到（3/3)求（e1²+e2²)/(e1e2)²=

∵2/早帆0P/=/F1F2/∴PF1⊥PF2
设椭圆的游备长轴长为2a,
双曲线的实轴长为2a', |F1F2|=2c,
1/e1=a/陆磨雹c =(PF1+PF2)/(2c)
1/e2=a'/c=PF1-PF2/(2c)
∴(1/e1)^2=[PF1+PF2)/(2c)]^2
(1/e2)^2=[PF1-PF2/(2c)]^2
∴(1/e1)^2+(1/e2)^2
=[PF1+PF2)/(2c)]^2+[PF1-PF2/(2c)]^2
=2(PF1²+PF2²)/(2c)²=2(2c)²/(2c)²=2

Answer 2

请问此题求什么?看到2/3还以为是椭圆与双曲有公共离敏冲早心率桥雀是错题一个呢!一楼好厉害啊!自己可以猜到题目问什么,但确实可判尘以推导这样一个结论(1/e)^2+(1/e')^2=2.题目可知OP=OF1=OF2,可知PF1^2+PF2^2=4c^2.设椭圆双曲长半轴分别为a,a';离心率分别为e,e'.再由椭圆定义PF1+PF2=2a,平方PF1^2+PF2^2+2PF1PF2=4c^2+2PF1PF2=4a^2~<1>,同理由双曲线定义4c^2-2PF1PF2=4a'^2~<2>,<1>+<2>可得8c^2=4a^2+4a'^2,于是(a/c)^2+(a'/c)^2=2,(1/e)^2+(1/e')^2=2得证.