Question

初二下数学题 相似三角形

在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的动点（不与B、C重合），EF垂直于AB，EG垂直于AC，垂足分别为F、G
（1）求证：EG比AD=CG比CD；
（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明，不垂直请说明理由
（3）当AB=AC时，三角形FDG为等腰直角三角形吗？说明理由

Answer 1

（1）∠C相同，∠ADC=∠EGC=90
所以△ADC∽△EGC
得EG比AD=CG比CD
（2）EF平行AC,EG平行于AB
得，AF/AB=EC/BC=CG/CA
易得∠BAD=∠C
得△BAD∽△ACD
所以AD/DC=AB/AC
所以△AFD∽△CGD
所以∠DGC=∠DFA
所以∠AFD+∠DGA=∠DGC+∠DGA=180
所以∠BAC+∠FDG=180
所以∠FDG=90，所以垂直
（3）AB=AC，所以由2，AF/AB=EC/BC=CG/CA
△AFD全等△CGD
FD=DG
得证

Answer 2

（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴EG:AD=CG:CD．

（2）解：FD与DG垂直．
证明如下：
在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF=EG．
∵EGAD=CGCD，
∴AFAD=CGCD．
又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．

（3）解：当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AD=DC．
∵△AFD∽△CGD，
∴FDGD=ADDC=1．
∴FD=DG．
∵∠FDG=90°，
∴△FDG为等腰直角三角形．

Answer 3

1、解：证明：
∵AD⊥BC，EG⊥AC
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∵∠C＝∠C
∴△ADC∽△EGC
∴EG/AD=CG/CD

2、因为∠BAC＝90°
AD⊥BC
所以∠FAD＋∠CAD＝90°
∠C＋∠CAD＝90°
所以∠BAD＝∠C
又因为EG⊥AC
EF⊥AB
∠BAC＝90°
所以四边形AFEG是矩形
所以EG＝AF
3、三角形DFG是等腰直角三角形
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝CD
∵△AFD∽△CGD
且FD⊥DG
∴△AFD≌△CGD
∴DF＝DG
∴三角形DFG是等腰直角三角形