Question

一道圆锥曲线题

点M是椭圆x^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F，圆M与Y轴相交于P、Q，若三角形PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

Answer 1

由条件M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F，得MF垂直于x轴，MF=b^2/a，
所以圆的半径r=b^2/a=MP=MQ，三角形PQM是钝角三角形，则角PMQ>90度，
取PQ中点R，则MR垂直于y轴，RT三角形PMR中MP=b^2/a，MR=c，角PMR>45度，
所以COS∠PMR=MR/MP=ac/b^2<√2/2，即√2ac<b^2=a^2-c^2，即e^2+√2e-1<0，
解得(-√2-√6)/2<e<(-√2+√6)/2，又0<e<1，所以0<e<(-√2+√6)/2。