Question

如图 △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠C=？ 简便方法

e

Answer 1

115°
解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°
∴∠ACB=50°
∴∠ACD=130°
∴∠ACP=65°
∴∠C=115°

Answer 2

角CAP=（50）度
解：作角ACB的平分线CO交BP于O,连接AO
所以：角OCB=角OCA=1/2角ACB
因为BP平分角ABC
所以角OBC=1/2角ABC
所以点O是三角形ABC的内心
所以AO平分角BAC
因为CP是角ACD的平分线
所以角ACP=1/2角ACD
因为角ACB+角ACD=180度
所以角OCP=角OCA+角ACP=90度
因为角BPC+角COP+角OCP=180度，角BPC=40度
所以角COP=50度
角BAC=180-(角ABC+角ACB)=180-2(角OBC+角OCB)
因为角COP=角OBC+角OCP
所以角BAC=80度
因为角OAC=1/2角BAC=40度
因为角BPC=40度
所以角BPC=角OAC=40度
所以：A,O,C,P四点共圆
所以角CAP=角COP
因为角COP=50度
所以角CAP=50度

Answer 3

：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，(∠PCD是三角形BCP的外角；)公式2∠BPC=∠BAC
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．

Answer 4

图？？