Question

数列求答案和详解

Answer 1

解：
(1)
a(n+1)=(25/36)an+(2n+1)(25/36)^n
等式两边同除以(25/银猛羡知滚36)^n
a(n+1)/[(25/36)^n]=an/[(25/36)^(n-1)]+ 2n+1
a(n+1)/[25/36)^n]-an/[25/36)^(n-1)]=2n+1
an/[(25/36)^(n-1)]-a(n-1)/[(25/36)^(n-2)]=2n-1
…………
a2/(25/36)-a1/(25/36)^0=2×2-1
累加
an/[(25/36)^(n-1)]-a1=2(2+3+...+n)-(n-1)=2[n(n+1)/2 -1]-(n-1)=n²-1
an=(a1+n²-1)[(25/36)^(n-1)]=(1+n²-1)(25/36)^(n-1)=n²×(25/36)^(n-1)
n=1时，a1=1×1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=n²×(25/36)^(n-1)。
(2)
a(n+1)/an=[(n+1)²×(25/36)^n]/[n²×(25/36)^(n-1)]=[5(n+1)/(6n)]²
5(n+5)/6n=(5/6)+5/(6n)，随n增大，5/(6n)递减，5(n+5)/(6n)递减，最大项为第一项a1=1。
(3)
an=n²×(25/36)^(n-1)=[n×(5/6)^(n-1)]²
cn=√an=n×(5/6)^(n-1)
Sn=c1+c2+c3+...+cn=1×(5/6)^0+2×(5/6)^1+3×(5/6)^2+...+n×(5/6)^(n-1)
(5/6)Sn=1×(5/6)^1+2×(5/6)^2+...+(n-1)×(5/6)^(n-1)+n×(5/6)^n
Sn-(5/6)Sn=Sn/6=(5/6)^0+(5/6)^1+...+(5/6)^(n-1)-n×(5/6)^n
=[1-(5/6)^n]/(1-5/锋拍6) -n×(5/6)^n
=6 -(n+6)×(5/6)^n
Sn=36 -(n+6)×5^n/6^(n-1)