Question

已知函数f(x)=x²+㏑x

(1)求f(x)在[1,e]上的极大值和极小值 (2)求证：当x∈(1,+∞]时，函数f(x)的图象在g(x)=(2/3)*(x³)+(1/2)*(x²)的下方

Answer 1

（1）
因为，f′(x)=2x+1/x
当1≤x≤e时，f′(x)>0
所以f(x)在[1，e]单调递增
f(x)min=f(1)=1
f(x)max=f(e)=e²+1

（2）
设F(x)=f(x)-g(x),
则F′(x)=2x+(1/x)-2x²-x
=(x²+1-2x³)/x
=[(x²-x³)+(1-x³)]/x
=(1-x)(2x²+x+1)/x
当x>1时，F′(x)<0，
所以F(x)在（1，+∞）上单调递减
当x>1时，F(x)=f(x)-g(x)<F(1)=-1/6<0
即，当x>1时，f(x)-g(x)<0
f(x)<g(x)
所以，当x∈(1,+∞]时，函数f(x)的图象在g(x)的下方