Question

已知函数f(x)=x2-2lnx

求证：当x>2时,f(x)>3x-4

Answer 1

解：欲证f(x)>3x-4,把f(x)代入为x^2-2lnx>3x-4,即证x^2-2lnx-3x+4>0
所以：设F（x）=x^2-2lnx-3x+4，只要证x>2时，F(x)>0就可以了
对F(X)求一次导数为F(x)'=2x-2/x-3
再对F(x)'求导F(X)''=2+2/X^2恒大于0
即F(x)'在R上为增函数，当然在x>2时也是增函数，而当x=2时，F(x)'=0
所以F(x)'>0,即证F(x)是增函数
当x=2时，F(x)=4-2ln2-6+4=2-2ln2=2（1-ln2）>0
即x>2时，f(x)>3x-4得证

Answer 2

设：M(x)=f(x)－(3x－4)=x²－3x－2lnx＋4，则：
M'(x)=2x－3－(2/x)=[(2x＋1)(x－2)]/(x)
当x>2时，M'(x)>0，则函数M(x)在x>2时是递增的，则：
当x>2时，M(x)>M(2)=2－2ln2=2(1－ln2)>0
则：当x>2时，f(x)>3x－4

Answer 3

设y=f(x)-3x+4=x^2-3x+4-2lnx 定义域x>0
y'=2x-3-2/x=(2x^2-3x-2)/x
y'=0 x=2或x=-1/2
所以y在（2，+无穷）上是增函数，在（0,2）减函数
x=2 ymin=4-6+4-2ln2=2-2ln2=2(1-ln2) ln2<lne=1
所以1-ln2>0
ymin>0
所以 当x>2时,f(x)>3x-4

Answer 4

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