Question

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成f（n）＝1/2（n^2...

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成f（n）＝1/2（n^2＋n＋2）个区域.

Answer 1

根据规律可以得出：
S(n)=S(n-1)+n
（至于规律，统计到5根直线还没发现，就是傻子）
可以得到以下公式：
S(n)=S(n-1)+n
S(n-1)=S(n-2)+n-1
...
...
...
S(3)=S(2)+3
S(2)=S(1)+2
S(1)=S(0)+1
S(0)=1
然后把上面式子全部加起来，可以得到：
S(n)=[n*(n+1)/2]+1

答：n条直线将平面划分成了[n*(n+1)/2]+1份

Answer 2

n=2
f(2)=(1/2)(4+2+2)=4
n=3

假设n=k时成立
f(k)=(1/2)(k^2+k+2)
n=k+1时
假设新增加直线为l'
l'和l1、l2..lk 顺序相交的交点有k个（即m1、m2..mk)
新增区域位于m1到m2的1侧、m2到m3的1侧、...mk-1到mk的1侧 计(k-1)个区域
另有l'和m1新区、l'和mk新区
共计(k+1)个
直线l'和l1、l2、l3..lk新增加了k+1个区域
f(k+1)=f(k)+(k+1)=(1/2)(k^2+k+2)+(k+1)=(1/2)(k^2+2k+1+k+1+2)=(1/2)[(k+1)^2+(k+1)+2]
因此
f(n)=(1/2)(n^2+n+2)

Answer 3

用归纳法证明吧

Answer 4

55465