Question

在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E

在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E，点M在线段AP上，点N在线段BP上EM=EN，EP/EM=12/13
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应)，求AP的长．

Answer 1

解：
(1)∵∠ACB=90°，∴AC===40．
∵S==,
∴CP===24．
在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，
∴．
∴CM=EM==26．

【2】当点E在边AC上时，设AP=x，则PE=3/4x，又因为EP/EM=12/13.所以EM=13/16x=EN,且直线PE⊥AB，所以在三角形PEN中，PN=5/16x，又因为AP+PN+BN=50。y=50-21/16x
第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：
①当点E在线段AC上时，

△AME∽△ENB， ．∵EM=EN，∴ ．设AP=x，由（2）知EM的平方= ，AM乘NB ．
∴
解得x1=22，x2=0（舍去）．
即AP=22．
②当点E在线段BC上时，

根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴ ．∴CE= = ．设AP=x，易得BE= 三分之五（50-x），∴CE=30 ．∴30 = ．解得x=42．即AP=42．
∴AP的长为22或42．

Answer 2

(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sin∠EMP=12/13 CM=26。
(2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵∠EAP=∠BAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴EP/AP=BC/AC，即ER/x=30/40，∴EP=3/4x，
又sin∠EMP=12/13 EM=13/16x，MP=5/16x,PN=5/16x，
BN=AB-AP-PN=50-x-5/16x=50-21/16x (0<x<32)。
(3) 当E在线段AC上时，由(2)知，EM/EP=13/12，即EM/3/4x=13/12，EM=13/16x=EN，
又AM=AP-MP=x-5/16x=11/16x，
由题得△AME ~ △ENB，∴AM/EN=ME/BN，11/16x：13/16x=13/16x：50-21/16x，解得x=22=AP。
当E在线段BC上时，由题得△AME ~ △ENB，∴∠AEM=∠EBN。
由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
∴Rt△ACE ~ Rt△EPM，AC/CE=PE/PM，即40：CE=3/4x：5/16x，CE=50/3…j。
设AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP ~ Rt△BAC，BE/PB=AB/BC，即BE/50-z=50/30，BE=5/3*(50-z)，∴CE=BC-BE=30-5/3*(50-z)…k。
由j，k，解50/3=30-5/3*(50-z)，得z=42=AP

Answer 3

解【1】当点E与点C重合时，PE为三角形ABC的高，PC=24，又因为EP/EM=12/13。且E点于C点重合。所以，额、EM=CM=26
【2】当点E在边AC上时，设AP=x，则PE=3/4x，又因为EP/EM=12/13.所以EM=13/16x=EN,且直线PE⊥AB，所以在三角形PEN中，PN=5/16x，又因为AP+PN+BN=50所以。y=50-21/16x
【3】····