Question

如图,在△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,点E在BA的延长线上,且EA=AB,ED的延长线交BC于点F，联结AF

在△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,点E在BA的延长线上,且EA=AB,ED的延长线交BC于点F，联结AF
（1）请写出一对相似三角形，并证明
（2）当AF=4时，求EF的长

Answer 1

第一个问题：
△BEF∽△CAF。　证明如下：
过A作AG∥EF交BF于G。
∵AB＝AE、AG∥EF，　∴BG＝GF。
∵CD＝AD、AG∥DF，　∴CF＝GF。
由BG＝GF、CF＝GF，得：BG＝CF。

∵AB＝AC，　∴∠ABG＝∠ACF。
由AB＝AC、BG＝CF、∠ABG＝∠ACF，得：△ABG≌△ACF，　∴∠BAG＝∠CAF。
∵AG∥EF，∴∠BEF＝∠BAG＝∠CAF，而∠EAF＝∠ACF，　∴△BEF∽△CAF。

第二个问题：
∵△ABG≌△ACF，　∴AG＝AF＝4。
∵A、G分别是BE、BF的中点，∴AG＝EF/2，　∴EF/2＝4，　∴EF＝8。