Question

已知函数f(x)=ax/(1+x^2) a>0 若曲线C的切线的斜率k的最小值为-1,求实数a的值

Answer 1

f'(x)=[x(1+x^2)-2ax^2]/(1+x^2)^2
=x/(1+x^2)-2a*[x/(1+x^2)]^2
令x/(1+x^2)=y
曲线C的切线的斜率k=f'(x)=-2ay^2+y
=-2a(y^2-y/2a)
=-2a[(y-1/4a)^2-1/16a^2]
=-2a(y-1/4a)^2+1/8a
因为y=x/(1+x^2)=1/(1/x+x)
所以-1/2<=y<=1/2
因为1/4a>0
所以当y=-1/2时，kmin=-a/2-1/2=-1
a=1

追问

求导求错了吧 f'(x)=[x(1+x^2)-2ax^2]/(1+x^2)^2 的x(1+x^2)应该是a(1+x^2)

追答

嗯，你说得对
那f'(x)=(a-ax^2)/(1+x^2)^2
=-a(x^2-1)/(1+x^2)^2
=-a[(x^2+1)-2]/(1+x^2)^2
=-a[1/(1+x^2)-2/(1+x^2)^2]
令1/(1+x^2)=y 0<y<=1
f'(x)=-a(y-2y^2)
=a(2y^2-y)
=2a(y^2-y/2)
=2a[(y-1/4)^2-1/16]
=2a(y-1/4)^2-a/8
所以最小值=-a/8=-1
a=8