Question

如图，rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF‖BC，交AC于F，求证：AE=CF

Answer 1

∵角ABG=DBE

∴△ABG∽BDE

∠BDE=AGB=AEG

AE=AG

作BH⊥BC，连EH

易证△BAG全等BGH

AG=BH=AE

又因为AE平行GH

∴四边形AGHE是菱形

易证EHCF为平行四边形

∴FC=EH=AE

Answer 2

rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF‖BC，交AC于F，求证：AE=CF
过E点作AC的平行线，交AB于P，交BC于Q
因为∠BAC=90°，且PQ平行AC
所以∠EPB=90°
所以∠PAE+∠PEA=90°。
又因为AD⊥BC
所以∠DEQ+∠EQD=90°
因为∠PAE=∠DEQ
所以∠PEA=∠EQD
且BG是∠ABC的平分线，所以∠ABE=∠QBE
所以△BEA全等△BEQ
所以AE=EQ
又因为EF平行BC，EQ平行CG
所以四边形QCFE是平行四边形
所以EQ=FC
所以AE=FC
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Answer 3

证明：过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥BC于N
∵AD⊥BC，EM⊥AB，BG平分∠ABC
∴EM＝ED，∠AME＝90
∵FN⊥BC
∴矩形EFND，∠CNF＝90
∴FN＝ED, ∠CNF＝∠AME
∴EM＝FN
∵∠BAC＝90
∴∠BAD+∠CAD＝90
∵AD⊥BC
∴∠CAD+∠C＝90
∴∠BAD＝∠C
∴△AME≌△CNF
∴AE＝CF

Answer 4

给你提示，过E点做CF的平行线，交BC于G.
首先证明EFCG是平行四边形,得到EG=FC
在证明ABE和BGE是全等三角形，得出AE=EG
从而AE=CF