Question

已知，如图在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且与边BC以及△ABC的外接圆分别交于D、E两点，

求证：（1）△ABD∽△AEC；（2）若EF⊥AB于F，则AB+AC=2AF；（3）AD/AB +AD/AC =2cos∠BAE.
如图所示，谢谢：） 点D是AE和BC的交点。

Answer 1

(1)、∵△ABC内接于圆，∴∠ABC=∠AEC，

又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2（见图），

从而△ABD∽△AEC。

(2)过E作EG⊥直线AC，垂足为G，由于AB＞AC，那么

垂足G在边AC的延长线上，而EF⊥AB之垂足F在边AB上。连接BE，

∵∠1=∠2，可证Rt△AEF≌Rt△AEG，∴EF=EG，AF=AG；

∵∠1=∠2，∴它们对的弦相等，得BE=CE；

∴Rt△EFB≌Rt△EGC，得BF=CG，即AB-AF=AG-AC，

移项得AB+AC=AG+AF=2AF。

(3)、前（1）已证△ABD∽△AEC，有AB/AE=AD/AC，得AD/AB*AC=1/AE，

那么，AD/AB+AD/AC=AD(AB+AC)/AB*AC=（AB+AC）/AE，

将AB+AC=2AF代入得AD/AB +AD/AC =2AF/AE=2cos∠BAE。证毕。

Answer 2

证：（1）AD平分∠BAC，∠BAD=∠EAC；
∠ABC与∠EAC对应弧AC，B、E在圆上，∠ABC=∠EAC；
△ABD∽△AEC。
（2）过E作EG⊥AC于G，EF⊥AB于F，AD平分∠BAC，EF=EG，AE=AE，∠BAD=∠EAC；
△AEF≌△AEG；AG=AE=AC+CG
AD平分∠BAC，弦BE=弦CE，Rt△BEF≌Rt△CEG；
FB=CG；AB=AF+FB=AF+CG，CG=AB-AE；
则AB+AC=2AF。
3）△ABD∽△AEC，AD/AB=AC/AE，AB/AE=AD/AC，
cos∠BAE=（AB-BF)AE=(AC+CG)/AE，
2cos∠BAE=AB/AE+AC/AE
=AD/AC+AD/AB。

Answer 3

D 在哪

追问

哦，点D是AE和BC的交点。呵呵