Question

急~已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转……（接下面）

它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于点E、F。
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图①），求证S△DEF+S△CEF=1/2 S△ABC。
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

（1）∵DE⊥AC，∠C=90°
∴DE∥BC
又∵D为AB中点
∴DE=1/2BC
同理，∵∠EDF=90°
∴DF∥AC
又∵D为AB中点
∴DF=1/2AC
S△DEF+S△CEF = SEDFC = DE·DF = 1/2BC·1/2AC = 1/2S△ABC

（2）图①
过D作DM⊥AC，DN⊥BC
DM=1/2BC，DN=1/2AC
∵AC=BC
∴DM=DN
∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°
∴∠MDE=∠NDF
△DME≌△DNF（∠MDE=∠NDF，DM=DN，∠DME=∠DNF）
S△EDF+S△CEF=SEDFC
=SMDNC-S△MDE+S△NDF
=SMDNC
=1/2△ABC
图③ S△DEF = 1/2S△ABC+S△CEF
若要证明的话：
连结DC，DE交CF于P
DC=DB，∠CDE=∠FDB，∠DCE=∠DBF => △DCE≌△DBF
S△DEF=S△PDB+S△EPF+S△DBF
=S△PDB+S△EPF+S△DCE
=S△CDB+S△CEF
=1/2S△ABC+S△CEF

Answer 2

解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S△DEF+S△CEF=
1
2
S△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=
1
2
AC，MD=
1
2
BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵

∠DME＝∠DNF
MD＝ND
∠MDE＝∠NDF

，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME=S△DNF，
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN=
1
2
S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF=
1
2
S△ABC．
图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+
S△ABC
2
，
∴S△DEF-S△CFE=
S△ABC
2
．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=1/2S△ABC．
所有的1下面一个2就是1/2的意思、