Question

已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=lnx/x,其中e是自然常数，a∈R。

（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＞g(x)+1/2
(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3，存在的话，求出a的值，不存在的话，说明理由

Answer 1

（1）
当a=1时，
函数f(x)=x-(lnx),
f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x
易知，
当0＜x＜1时，f'(x)＜0
当1＜x＜e时，f'(x)＞0
f(x)min=f(1)=1
（2）g(x)取值范围为（0，1/e】,即-g(x)-1/2最小值为-1/e-1/2>-1,得证
（3）
f(x)=ax-(lnx), x∈(0,e]
f'(x)=a-(1/x)=(ax-1)/x
f'(x)=0, 可得x=1/a,
由题设可得：
0＜1/a＜e.即a＞1/e
且f(1/a)=3,即1-ln(1/a)=3
综上可知：a=e².希望采纳

Answer 2

（1）讨论a=1时,f(x)=x-lnx,x∈(0,e],,f'(x)=1-1/x x∈(0,1],
f'(x)<0, 为增函数 x∈(0,e], f'(x)>0为减函数 当x=1，其极大值f(1)=1
2. 在（1）的条件下， f(x)=x-lnx ],g(x)=lnx/x

f(x)-g(x)=x-lnx -lnx/x ，试证明其为增函数，最小值为1/2....

3. 对F(x)求导讨论
f(x)=ax-lnx，f'(x)=a-1/x
若f'(x)=a-1/x=0,x=1/a
f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna=3
lna=2 a=e^2>e 显然超出了定义域，舍去，故不存在。