Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x ，a属于R

1）若f（x）在（负无穷，-2]上递增，求a的取值范围；
2）若f’（1）=0，关于x的方程f（x）=k恒有三个不相等的实根，求实数k的取值范围

Answer 1

解：
(1) f'(x) = 3x² -2ax -3；
f(x)在(-∞, -2] 上递增，因此有 f‘(x)≥0
==> f'(x) = 3x² -2ax -3 ≥0
==> a*(-2x) ≥ 3-3x²
x∈ (-∞, -2] ==> -2x >0
因此：
a ≥ 3/2(x-1/x)
当 x∈ (-∞, -2]时，3/2(x-1/x) 单调递增；在x = -2取得最大值；
最大值为：3/2(-2+1/2) = -9/4
因此a的取值范围为：a ≥ -9/4

（2）
由 f’(1) = 0 ==> f'(1) = 3-2a -3 = 0 ==> a=0
∴ f(x) = x³ -3x
f'(x) = 3(x² -1)；
令 f‘(x) = 0 ==> x1=-1；x2=1；
x∈ (-∞, -1) f'(x) > 0，f(x)单调递增；
x∈ (-1, 1) f'(x) < 0，f(x)单调递减；
x∈ (1, +∞) f'(x)>0 ，f(x)单调递增；
因此 x=-1 为极的值点，x=1为极小值点
f(-1) = 2；f(1) = -2；
当K值介于极大值和极小值之间时(不取等号)，f(x) = k 在三个单调区间各有一个交点，共3个交点；因此 k的取值范围是：
-2 < k < 2；

Answer 2

1)f'(x)=3x^2-2ax-3=3(x-a/3)^2-3-a^2/3
在（负无穷，-2]上递增, 则f'(x)=0的较小根需不小于-2或f'(x)无实根
前者有：delta=4a^2+36>=0, f'(-2)=24+4a>=0, a/3>=-2, 得：a>=-6
后者有：delta=4a^2+36<0, 不符
综合得：a>=-6
2)x=1为一个极值点，代入f'(x)=0得：a=0, 得另一极值点为x=-1
f(x)=x^3-3x
f(-1)=2为极大值
f(1)=-2为极小值
f(x)=k有三个不等实根，则必有-1<k<1