Question

高等数学 定义域

我想问的是 y=x*sin(1/x)这个函数的定义域包含x=0这点么？
我的想法是，虽然sin(1/x)在x=0处是一个不定式，但是它却是有界的。而0乘以任何一个有界值都是0。希望大家能把我说懂。谢了
那如果按大家的意思，f(x)=x*(1/x)在x=0处也是没有定义的了？

Answer 1

定义域不含0，有界是因为有极限。左右无限接近收敛到0但是原点处无定义，是一种振荡形式的收敛。如定义0点处值为0，则为连续，振荡连续。可以结合 函数的间断点 理解一下。附图，大致是个意思吧。

粉线是sin取值为1的时候，y=x，类似渐近线或者边界的意思。不存在对应“周期”的东西，应该右边松散些，左边密集些。

y=x*sinx的图像就是以y=x为限制，右边存在类似“周期”的那种振荡，一直到无穷远。

y=x*sin(1/x)特别在于里面的1/x而已。

y=x^n*sin(1/x)关于n讨论有很多有趣的性质，但是基本都是补充了原点处定义的。不知这样可否懂了？

Answer 2

定义域不包含0这一点，注意定义域内的点一定要保证函数表达式有意义，显然1/0是没有数学定义的。你在考虑问题的时候要注意区分f(0)和f(x)在x趋向0时的极限，这是两个完全不同的数学概念。你上面说的“sin(1/x)在x=0处是一个不定式，是有界的，”这里前提是不成立的，也就是说“sin(1/x)在x=0处”是没有数学含义的一个表述，根本谈不上有界没界的问题。

追问

那f(x)=x*(1/x)在x=0处也是没有定义的了？

追答

是的，没定义。表达式是不能随意化简，然后再判断定义域的。

Answer 3

首先，定义域肯定不包括0，分母怎么可能为0呢！
你说的情况是X趋向于0的极限，在求极限的情况下0乘以任何一个有界值都是0，也就是说y=x*sin(1/x)的定义域不能等于0.，但在X趋向于0是函数值为0！
要区分定义域和极限！
希望能帮到你！
f(x)=x*(1/x)在x=0处也是没有定义的!
分母不能为0.这是永恒的真理！

Answer 4

无限逼近不等于能取到零。对这种问题，还是要先判断是表达式否有意义。