Question

高中数列

数列an的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立。
1：设A＝0，求证an是等比。。。2：设数列an是等差，若p＜q，且1/Sp+1/Sq＝1/S11，求p，q的值

Answer 1

(1)
an+Sn=An+B
a(n+1)+S(n+1)=A(n+1)+B
相减得2a(n+1)-an=A
A=0
2a(n+1)=an
a(n+1)/an=1/2
数列an是首项为1,公比为1/2的等比数列
（2）设数列an的公差为d，分别令n=1，2，3得：
{ a1+S1=A+B
a2+S2=2A+B
a3+S3=3A+B，
即 2=A+B
2d+3=2A+B
5d+4=3A+B，
解得， A=1 B=1 d=0，
即等差数列{an}是常数列，
所以Sn=n
又 1/Sp+1/Sq＝1/S11
则 1/p+1/q=1/11，
pq-11p-11q=0，
（p-11）（q-11）=121
因p＜q，
所以
p-11=1
q-11=121
解得 p=12
q=132

Answer 2

1
利用an=Sn-Sn-1 和Sn=B-an
得an/an-1=1/2
2
将an=(n-1)d+1带入Sn=An+B-an
比较n的序数 得 d=0,A=1,B=1
Sn=n
1/Sp+1/Sq＝1/S11 1/p+1/q=1/11 利用 [1/x(x+y)]+[1/y(x+y)]=1/xy 取x=1,y=11
则
1/12+（1/132）=1/11 p=12,q=132

Answer 3

1
利用an=Sn-Sn-1 和Sn=B-an
得an/an-1=1/2
2
将an=(n-1)d+1带入Sn=An+B-an
比较n的序数 得 d=0,A=1,B=1
Sn=n
1/Sp+1/Sq＝1/S11 1/p+1/q=1/11 利用 [1/x(x+y)]+[1/y(x+y)]=1/xy 取x=1,y=11
则
1/12+（1/132）=1/11 p=12,q=132

Answer 4

1.取N=1,求出B=2。取n=n-1带入等式，得到一等式，讲两等式相减即可证明第一问。
2.an=a1+(n-1)d,Sn=na1+n(n-1)d-2,带入等式化简，等式左右相等，可知公差为0。此数列为1的常数数列。所以，证明1/p+1/q=1/11就可以了。

Answer 5

a(n-1) 是数列的第n-1项
解：an+Sn=B
a(n-1)+S(n-1) =B n>2
两式相减，得 an-a(n-1)+(Sn-S(n-1))=0
所以 an-a(n-1)+an=0
所以 2an=a(n-1)
那不就等比吗