Question

求助一道高中数学题，请高手帮忙。已知实数a，b，c满足a>b>c，且有a+b+c=1, a^2+b^2+c^2=1 求证：a+b<4/3

Answer 1

sunzhenwei114 　所给出的答案不能成立。
其中的a＋b≧2√（ab）必须建立在a、b都是非负数的前提下，但条件中没有，也无法推出。

下面给出一个合理的解法：
∵a＋b＋c＝1、a^2＋b^2＋c^2＝1，∴a＋b＝1－c、a^2＋b^2＝1－c^2。
引入函数：f（x）＝（x＋a）^2＋（x＋b）^2。
∵a＞b，∴f（x）＞0。
又f（x）＝（x^2＋2ax＋a^2）＋（x^2＋2bx＋b^2）＝2x^2＋2（a＋b）x＋（a^2＋b^2），
∴f（x）＝2x^2＋2（1－c）x＋（1－c^2）。

显然，f（x）是一条开口向上的抛物线，又f（x）＞0。
∴方程2x^2＋2（1－c）x＋（1－c^2）＝0的判别式＜0，∴4（1－c）^2－8（1－c^2）＜0，
∴（1－c）^2－2（1－c^2）＜0，∴（1－c）［（1－c）－2（1＋c）］＜0，
∴（1－c）（－1－3c）＜0，∴（3c＋1）（c－1）＜0，∴－1/3＜c＜1。

由a＋b＋c＝1，得：c＝1－（a＋b）。
∴－1/3＜1－（a＋b）＜1，∴－1＜（a＋b）－1＜1/3，∴0＜a＋b＜4/3。
于是，问题得证。

Answer 2

求助一道高中数学题，请高手帮忙。已知实数a，b，c满足a>b>c，且有a+b+c=1, a²+b²+c²=1 ；求证：a+b<4/3
证明：a+b+c=1...........(1)；a²+b²+c²=1............(2)
由(1)得c=1-(a+b)，代入(2)式得
a²+b²+[1-(a+b)]²=(a+b)²-2ab+1-2(a+b)+(a+b)²=2(a+b)²-2(a+b)+1-2ab=1
于是得(a+b)²-(a+b)-ab=0，故(a+b)²=(a+b)+ab<(a+b)+(a+b)²/4
即有3(a+b)²<4(a+b)，两边同除以3(a+b)，即得a+b<4/3，故证。

Answer 3

消C，得a²+b²+[1-(a+b)]²=1
整理得a²+b²+(a+b)²-2(a+b)=0
∵a²+b²=(a+b)²-2ab
∴2(a+b)²-2(a+b)=2ab
∵a+b≥2sqr(ab)
∴ab≤(a+b)²/4
2(a+b)²-2(a+b)≤(a+b)²/2
3(a+b)²-4(a+b)≤0
0≤a+b≤4/3
由于a>b>c，得a+b<4/3

Answer 4

解: a>b>c,且 a+b+c=1,
有 (a+b+c)^2 = 1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
1+2ab+2bc+2ac=1
ab+bc+ac=0
而a,b,c不可能同号,因为同号时不可能=0
所以至少有一个数小于0,再由于a>b>c
所以c<0
所以a+b=1-c>1
由a^2+b^2+c^2=1可得:
(a+b)^2 - 2ab+c^2=1
(1-c)^2 - 2ab+c^2=1
2ab=2c^2-2c
ab=c^2-2c
所以有a+b=1-c , ab=c^2-2c
所以方程x^2 + (c-1)x + c^2-2c =0 的两个根为a和b
所以判别式大于0
即 c^2-2c+1-4c^2+8c > 0
解得 -1/3 < c < 1
所以a+b=1-c<4/3
a+b<4/3。

Answer 5

c=1-(a+b)
a^2+b^2+(1-(a+b))^2=1
所以a^2+b^2+1+(a+b)^2-2(a+b)=1
化简(a+b)^2-2ab+(a+b)^2-2(a+b)=0
移项2(a+b)^2=2(ab+a+b)
(a+b)^2=(a+b)+ab小于(a+b)+((a+b)/2)^2
设t=(a+b)
所以t^2小于t+(t/2)^2
3/4t^2-t小于0
t(3/4t-1)小于0
所以0小于t小于4/3

Answer 6

我用反证法能证明a+b不大于等于4/3