Question

已知函数F(X)=X-SINX，数列{an}满足：0<a1<1,An+1=F(an),n=1,2,3......求证：（1）0<An+1<An<1

Answer 1

0<An<1还是要证明的，其实这种题目多半是用数学归纳法的，这样比较容易混分数，呵呵。F(X)=X-SinX求导数之后有F'(X)=1-cosx>0,所以F(X)在R上递增，这里只考虑x>0的情况，F(X)min=F(0)=0即有x>=sinx所以An>0，之后就可以用迭代法，由于0<a1<1，所以阿a2=F(a1)=a1-sina1也在(0,1)这样不停的代入下去就可以证明0<An<1,之后的作差就可以An+1=An - sin(An) < An ; 所以：An+1 < An ……<A1<1;

Answer 2

由题:An+1=An - sin(An) < An ; 所以：An+1 < An ……<A1<1;
又当X>0 ,F(X)>0; 0<a1<1 所以：An>0；
综上0<An+1<An<1

追问

.....如何保证SIN(An)为正数？步骤太简单了，没看懂。。。。

追答

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