Question

【初二下册数学】已知AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，FE交BC的延长线与点E，求证DE^2=CE×BE

已知AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，FE交BC的延长线与点E，求证DE^2=CE×BE

Answer 1

连接AE
因为EF是AD的垂直平分线，所以DE=AE
所以∠ADE=∠DAE
又因为∠ADE=∠B+∠DAB
∠DAE= ∠CAE+ ∠DAC
AD是△ABC的角平分线,所以∠DAB=∠DAC
所以∠B=∠CAE 又因为∠CEA是△CEA和△AEB的公共角
所以△CEA和△AEB相似
所以AE/BE=CE/AE
即AE^2=CE×BE
因为DE=AE
所以DE^2=CE×BE

Answer 2

连接AE,则AE=DE，只需正△ACE∽△BAE。而∠ADE=∠DAE，利用角平分线可得∠CAE=∠B,然后由两角对应相等，可得AE:BE=CE:AE,即AE^2=CE×BE,又因为AE=DE，所以结论得证。