Question

线性代数线性相关问题

已知向量组α1=（1,0,2,3），α2=（1,1,3,5），α3=（1，-1，a+2，1），α4=（1,2,4，a+8），α=（1，1，b+3，5）。问a，b为何值时，α可由α1，α2，α3，α4线性表出，且表示方法有无穷种？并写出表达式。
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我已经得出了当a=-1且b=0时，有无穷种表示方法，但是我不知道表达式应该怎么写出，请详细解答，O(∩_∩)O谢谢，采纳后追加高分。
答案是α=（2k-L）α1+（2L-k+1）α2-kα3-Lα4。
这个是怎么构造出来的呢？

Answer 1

设α=kα1+k2a2+k3a3+k4a4=(a1,a2,a3,a4)(k1,k2,k3,k4)'(转置）
对(a1,a2,a3,a4,a)做初等行变换最终化成阶梯形即（a1,a2,a3,a4,a）=（1，1，1，1，1；0，1，-1，2，1；2，3，a+2，4，b+3；3，5，1，a+8，5 ）——（1，1，1，1，1；0，1，-1，2，1；0，1，a,2,b+1;0,2,-2,a+5,2)——（1，1，1，1，1；0，1，-1，2，1；0，0，a+1，0，b;0,0,0,a+1,0)如果有解那么有矩阵的第四列的系数a+1=0，又由第三列如果有解则常数项b=0,综上解得a=-1,b=0. 这样解得方程的一个特解为γ=（0，1，0，0）与两个基础解向量为η=(2,-1,-1,0），λ=（-1，2，0，-1）所以全部解为x=kη+lλ+γ整理后就得到a1,a2,a3,a4前面的系数了，再写成那种答案就行了

Answer 2

解: (α1,α2,α3,α4,β) =
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
2 3 a+2 4 b+3
3 5 1 a+8 5

r3-2r1,r4-3r1
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
0 1 a 2 b+1
0 2 -2 a+5 2

r1-r2,r3-r2,r4-2r2
1 0 2 -1 0
0 1 -1 2 1
0 0 a+1 0 b
0 0 0 a+1 0

当a=-1且b=0时, r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,β)=2 < 4
此时 β可由α1，α2，α3，α4线性表出，且表示方法有无穷种
(α1,α2,α3,α4,β)-->
1 0 2 -1 0
0 1 -1 2 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
对应的线性方程组 (α1,α2,α3,α4)X = β 的一般解为: x3取-k1, x4取-k2, 得
x1 = 2k1 - k2
x2 = -k1 + 2k2 +1
x3 = -k1
x4=-k2
所以有
β=(2k1 - k2)α1+( -k1 + 2k2 +1)α2 - k1α3 - k2α4.

追问

我想请问一下，我是要求线性表出的表达式，不是求通解呀。这个一样？而且，这个取值是根据答案来的吗？怎么会直接就取两个负的呢？思路是怎么样的呢？O(∩_∩)O谢谢

追答

线性表示就是求相应的线性方程组的解:
求k1,...,ks 使得 k1a1+...+ksas = b
等价于求 (a1,...,as) X =b 的解.

取两个负的, 是根据你的答案给的, 一般不这样
自由未知量一般取 k1,k2,..., 有时为了让x1取正才让自由未知量取负.