Question

计算lim（n→∞)(1/(n+1)+1/(n+2)+……+/(n+2n))

Answer 1

lim(n→∞) 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(n + 2n)
= lim(n→∞) Σ_(k = 1→n) 1/(n + k)
= lim(n→∞) (1/n)Σ_(k = 1→n) 1/(1 + k/n)
= ∫(0→1) 1/(1 + x) dx
= ln(1 + x)：(0→1)
= ln(1 + 1) - ln(1 + 0)
= ln(2)

追问

第2步到第3步是怎么转化的啊？

追答

分母抽一个1/n出来
1/(n + k) = 1/[n(1 + k/n)] = 1/n · 1/(1 + k/n)

注意定积分定义：
∫(a→b) f(x) dx = lim(n→∞) 1/n · (Σ_k = 1→n ) f[a + (k(b - a))/n]
这里a = 0，b - a = 1 ==> b = 1
所以上限1，下限0