Question

求解高二数学导数题一道。

1、已知函数f(x)=(x-k)²e∧x/k（e∧x/k就是e的x/k次方）
求f(x)的单调区间。
若对于任意的x=（0，+∞）都有f(x)≤1/e，求k的取值范围。

Answer 1

解：
由函数表达式可知 k≠0
(1) f‘(x) = 2(x-k)e^(x/k) + 1/k* (x-k)²e^(x/k)
= (x-k)*e^(x/k)[2+ (x-k)/k ]
=1/k*(x-k)(x+k)e^(x/k)
令f’(x)=0, 则 x1=-k；x2=k；
需要对K的取值进行讨论
当 k<0时：
x∈(-∞, k) f'(x) < 0, f(x) 单调递减
x∈(k, -k) f'(x) > 0, f(x) 单调递增
x∈(-k,+∞) f'(x) < 0, f(x) 单调递减
当 k> 0时：
x∈(-∞, -k) f'(x) > 0, f(x) 单调递增
x∈(-k, k) f'(x) < 0, f(x) 单调递减
x∈(k,+∞) f'(x) > 0, f(x) 单调递增
(2) 若对于任意的x=（0，+∞）都有f(x)≤1/e，分两种情况考虑
当 k<0时
由(1)的讨论，x=-k 为极大值点；也是（0，+∞）上的最大值点
只要 x= -k 时，满足 f(x) ≤1/e 即可，有：
f(-k) = (-k-k)² *e^(-k/k) ≤ 1/e
==> 4k² ≤ 1 ==> -1/2 ≤ k ≤ 1/2
∵ k<0
∴ -1/2 ≤ k < 0
当 k>0时
由(1)的讨论，f(x) 在x∈(k,+∞) 上单调递增，并随x增大趋于无穷，因此不能满足
任意的x=（0，+∞）都有f(x)≤1/e
综上讨论，k的取值范围为：
-1/2 ≤ k < 0

Answer 2

buhui