Question

在平行四边形ABCD中角BAD的平分线交直线BC于点E交直线DC于点F。若∠ABC=90°，G是EF的中点。求∠BDG的度数

Answer 1

因为ABCD是平行四边形
因为角ABC=90度
所以ABCD是矩形
所以AB=DC
角BAD=角ABC=90度
AB平行DF
所以角EAB=角F
角ABC=角BCF=90度
因为AF平分角BAD
所以角EAB=1/2角BAD=45度
所以角F=45度
因为角F+角CEF+角ECF=180度
所以角CEF=45度
因为角AEB=角CEF
所以角AEB=角BAE=45度
所以AB=BE
所以BE=CD
因为G为EF的中点
所以CF是直角三角形ECF的中线
所以CG=EG CG=FG
所以角EGC=90度
角F=角FCG=45度
因为角FCG+角DCG=180度
所以角DCG=135度
因为角AEB+角BEG=180度
所以角BEG=135度
所以角BEG=角DCG
因为BE=DC(已证）
EG=CG(已证）
所以三角形BEG和三角形CGD全等（SAS)
所以角BGE=角DGC
BG=DG
所以角BDG=角DBG
因为角EGC=角EGD+角DGC
因为角BGD=角BGE+角EGD
所以角BGD=90度
因为角BGD+角BDG+角DBG=180度
所以角BDG=45度

Answer 2

∵ABCD是平行四边形，又∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ECF＝90°、AB＝DC。

∵∠BAD＝90°、∠BAE＝∠BAD/2，∴∠BAE＝45°，又∠ABE＝90°，∴AB＝BE。
由AB＝DC、AB＝BE，得：DC＝BE。

∵∠BAE＝45°、AB＝BE，∴∠AEB＝45°，∴∠CEF＝45°，又∠ECF＝90°，∴CE＝CF。
由DC＝BE、CF＝CE，得：DC＋CF＝BE＋CE，∴DF＝BC。

∵∠ECF＝90°、EG＝FG，∴CG＝FG、∠DFG＝∠BCG＝45°。
由DF＝BE、FG＝CG、∠DFG＝∠BCG，得：△DFG≌△BCG，∴∠CDG＝∠CBG，
∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠BCG＝45°

Answer 3

连接BG CG
∠BDG＝45°。　证明如下：
∵ABCD是平行四边形，又∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ECF＝90°、AB＝DC。
∵∠BAD＝90°、∠BAE＝∠BAD/2，
∴∠BAE＝45°，又∠ABE＝90°，
∴AB＝BE。由AB＝DC、AB＝BE，得：DC＝BE。
∵∠BAE＝45°、AB＝BE，
∴∠AEB＝45°，
∴∠CEF＝45°，又∠ECF＝90°，
∴CE＝CF。由DC＝BE、CF＝CE，得：DC＋CF＝BE＋CE，
∴DF＝BC。
∵∠ECF＝90°、EG＝FG，
∴CG＝FG、∠DFG＝∠BCG＝45°。
易证△BEG全等△DCG，∠DGC=∠BGE，
因为∠CGE=∠CGD+∠EGD=90°，
所以∠EDG=∠BGE=90°即∠BGD=90度，
由△DFG≌△BCG得BG=GD，
所以△BDG是等腰RT三角形，
所以∠BDG=45°

Answer 4

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