Question

已知函数f(x)=x平方+ax+b，(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，求实数a的值

(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，求实数a的值
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值
(3)若f(x)在[1,+无穷)内递增，求实数a的范围

希望有详细过程

Answer 1

(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，
则f(x)关于x=1对称，对称轴x=-a/2=1 a=-2
(2)若f(x)为偶函数，
f(-x)=f(x) a=0
(3)若f(x)在[1,+无穷)内递增，
-a/2<=1 a>=-2

Answer 2

(1)因为f(1+x)=f(1-x)
所以（1+x)^2+a(1+x)+b=(1-x)^2+a(1-x)+b
化简得：4x=-2ax
a=-2
(2)因为偶函数，所以f(x)=f(-x)
x^2+ax+b=（-x)^2+a(-x)+b

Answer 3

由（1）知f关于x=1对称可得a=-2
（2）f(-x)=f(x)可得a=0
（3）对称轴x=-a/2<1,得到a>2