Question

∫dx/[x+(1-x^2)^(1/2)]=??

Answer 1

令x=sint
原式=∫cost/[sint+cost]dt
解法如下：
记 A=∫sinx/(sinx+cosx)dx, B=∫cosx/(sinx+cosx)dx, 容易看出
A+B
=∫(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=∫1dx
=x+C1 (1)
另一方面
B-A
=∫cosx/(sinx+cosx)dx-∫sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx (利用(cosx-sinx)dx=d(sinx+cosx))
=∫1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)
=ln|sinx+cosx|+C2 (2)
(1)(2)中C1,C2是常数。因此
∫cosx/(sinx+cosx)dx
=((1)+(2))/2
=(x+ln|sinx+cosx|)/2+C
这里C是任意常数。

Answer 2

令x=sint, 则√(1-x²)=cost, dx=costdt
∴原式=∫ cost/(sint+cost) dt
=(1/2)∫[(cost+sint)+(cost-sint)]/(sint+cost)] dt
=(1/2)∫ dt + (1/2)∫(cost-sint)/(sint+cost) dt
=t/2 + (1/2)∫d(sint+cost)/(sinx+cosx)
=(1/2)(t+ln|sint+cost|) + C
=(1/2)(arcsinx+ln|x+√(1-x²)|)+C
C为任意常数