Question

如图，已知平行四边形ABCD中，AE垂直于BD，CF垂直于BD，E、F为垂足，G、H分别是AD、BC的中点，

求证：四边形EHFG是平行四边形

Answer 1

∵Rt△AED中，G是AD的中点
∴GE=1/2AD=DG
∴∠ADE=∠GED
∵Rt△BCF中，H是BC的中点
∴FH=1/2BC=BH
∴∠CBF=∠HFB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠ADE=∠CBF
∴∠CBF=∠HFB=∠ADE=∠GED
∴180°-∠GED=180°-∠HFB
∴∠FEG=∠EFH
∴GE//FH
∵GE=1/2AD，FH=1/2BC
又平行四边形ABCD中，AD=BC
∴GE=FH
∴四边形EHFG是平行四边形

Answer 2

连接GB,DH,GH与BD交与O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD（平行四边形对边相等，平行）
∵点G，H分别是AD与BC的中点
∴GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
因为四边形GBHD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）