Question

已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,若直线l:y=kx+m与椭圆交于不同的两点M.N,且线段MN的垂直平分线过点G(1/8,0),求k范围

Answer 1

假设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则x1 + x2 = 2x0 ，y1 + y2 = 2y0
将M、N坐标代入椭圆方程相减可得：(-4)[(y1)^2 - (y2)^2] = 3[(x1)^2 - (x2)^2]
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2)] = -3/4
∵M、N在y = kx + m上 ，∴k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)] ，∴上式化为：k·(y0/x0) = -3/4
∵PG垂直平分MN ，∴K(PG) = -1/k = y0/[x0 - (1/8)]∴k = [(1/8) - x0]/y0 = (-3x0)/(4y0)
∴x0 = 1/2 ，∴k = -3/(8y0) ，y0 = -3/(8k)
又∵P(x0，y0)在y = kx + m上 ，∴y0 = kx0 + m
∴m = [-3/(8k)] - (k/2)
∴直线l为：y = kx + [-3/(8k)] - (k/2)
代入椭圆方程：3x^2 + 4{kx + [-3/(8k)] - (k/2)}^2 = 12
即：(3 + 4k^2)x^2 + 4x·[(-3/4) - k^2] + 4{[3/(8k)] + (k/2)}^2 - 12 = 0
∵M、N是不同的两点，∴△>0
∴16[(-3/4) - k^2]^2 > 4(3 + 4k^2)[4{[3/(8k)] + (k/2)}^2 - 12]
∴[(3/4) + k^2]^2 > (3 + 4k^2)[{[3/(8k)] + (k/2)}^2 - 3]
∴4(3 + 4k^2) > [3/(8k)] + (k/2)}^2 - 3 = 9/(64k^2) + (k^2/4) + (3/8) - 3
令t = k^2 > 0 ，则12 + 16t > 9/(64t) + (t/4) - (21/8)
即：12·64t + 16·64t^2 > 9 + 16t^2 - 168t
∴16·63t^2 + 12·78t - 9 > 0
∴112t^2 + 104t - 1 > 0
解得t<(-104 - 32√11)/224 (舍) ，或t > (-13 + 4√11)/28
即 k^2 > (4√11 - 13)/28
∴k的范围是：k > {√[(28√11) - 91]}/14 ，或k < -{√[(28√11) - 91]}/14

Answer 2

设M点坐标为(a,ka+m),N点坐标为(b,kb+m)，其中点为(c,kc+m)

MN垂直平分线为 y-[kc+m]=(-1/k)(x-c)
此垂直平分线过定点G（1/8，0） 所以0-（kc+m)=(-1/k)(1/8-c)
k²c+km=1/8-c c=(1/8-km)/(k²+1)
将y=kx+m代入x²/4+y²/3=1 得
x²/4+(kx+m)²/3=1

(1/4+k²/3)x²+(2km/3)x+m²/3-1=0
此方程有两解啊a,b则Δ=4k²m²/9-4(1/4+k²/3)(m²/3-1)>0
且 a+b=-2km/(1/4+k²/3)
又a+b=2c=（1/4-2km)/ (k²+1)
所以-2km/(1/4+k²/3) =（1/4-2km)/ (k²+1) 解得m=-(4k²+3)/(8k)
带入Δ=4k²m²/9-4(1/4+k²/3)(m²/3-1)=(4k²+3)(20k²-1)/(8k)²>0
所以 k²>1/20
k的取值范围为k<-√5/10或k>√5/10