Question

如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连结AP，EF，求证：AP=EF

Answer 1

证明：连接pc
PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，∠C=90°
所以四边形pecf是矩形，所以PC=EF
因为AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°，DP公共
∴△ADP≌△CDP
∴AP=PE,又已经证明了PC=EF
∴AP=EF

Answer 2

解：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，
AD=CD∠PDA=∠PDCPD=PD，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP

Answer 3

EF＝PC﹙矩形对角线相等﹚ PC＝PA [∵⊿PDA≌⊿PDC﹙SAS﹚]
∴EF＝PA

Answer 4

解：∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，AD=CD，∠PDA=∠PDC，PD=PD，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC， ∴EF=AP。