Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点。（1）求EF//平面PAD；（2...

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点。（1）求EF//平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD所成二面角多大时，直线EF垂直平面PCD？紧急求解过程。谢谢了。

Answer 1

取PD的中点G，连接FG,AG,则
FG//1/2CD,AE//1/2CD
∴FG//AE且FG=AE
∴四边形AEFG是平行四边形
∴EF//AG
∴EF//平面PAD
(2)
∵底面ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∵侧棱PA垂直于底面
∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成的二面角
∵EF⊥面PCD
∴EF⊥CD
又EF//AG
∴AG⊥面PCD
∴AG⊥PD又点G是PD的中点，PA⊥AD
∴∠PDA=45°
所以平面PCD与平面ABCD所成的二面角为45°

Answer 2

证明:取CD的中点G,连接FG,EG.
那么有:FG//PD,EG//AD,即FG//面PAD,EG//面PAD
所以,面EFG//面PAD,又EF属于面EFG,故有EF//面PAD.
2.由于PA垂直于面ABCD,故PA垂直于CD,又CD垂直于AD,故CD垂直于面PAD,即CD垂直于PD
所以,角PDA就是平面PCD与平面ABCD所成二面角
取PD的中点H,连接AH,FH,则有FH//CD//AB,且FH=1/2CD=1/2AB=AE
即四边形AEFH是平行四边形,即有AH//EF.
当EF垂直于面PCD时,有AH垂直于面PCD,即AH垂直于PD,又H是PD的中点,故得到角PDA=45度.
即当平面PCD与平面ABCD所成二面角是45度时，直线EF垂直平面PCD

Answer 3

（1）取CD的中点G，连接EG、FG．
∵E、F分别是AB、PC的中点，
∴EG∥AD，FG∥PD，
∴平面EFG∥平面PAD，
又∵EF⊂平面EFG，
∴EF∥平面PAD (2)取CD中点G，连接FG，EG
∵E，G为矩形ABCD中AB，CD中点，
∴EG⊥CD．
∵F，G为PC，CD中点，
∴FG∥PD，FG=1 2 PD，
∵PD⊥CD，
∴FG⊥CD．
∴∠FGE为二面角P-CD-A的平面角
∵∠PAD=90°，M为AD中点，
∴EF=AM=1 2 AD，
∴EF=FG
又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF⊂平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵FG⊂面PCD，CD⊂面PCD，FG∩CD=G，
∴当EF⊥FG即∠EFG=90°时，EF⊥面PCD，此时∠FGE=45°