Question

求大师们请教啦，题目在问题补充里。

设三角形ABC的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足（A-B)的平方+(A-B)的平方+（B-C)的平方=26，问满足条件的三角形有多少个？（注：全等三角形只算一个）

Answer 1

郭敦顒回答：
已知a、b、c为三角形ABC三边的长度，均为自然数，且周长不大于30，即
a+b+c≮30，且（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26，括号右面的2为方指数，表平方（下同）。
分析：小于26可以表示为平方数的数是：1，4，9，16。
但是“1，4，9，16”中的任何组合都不能满足（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26
的条件，看来其中必有错误，否则无解。为了可解现将
（a-b）2+（a-b）2+（b-c）2=26
更改为（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=26。
如此则有，1+9+16=26符合条件，也只有这组符合条件。
与此对应的三组边差则分别是，1，3，4。
在（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=26中的a，b，c且若先不考虑能否构成三角形而只就数值而言，它们分别为1，4，5符合“条件”，就是说相邻两数（边）的差为3与1，而且总是这样的“3，1”。但（1，4，5）这组不能构成三角形。于是在这组上依次加1，2，3，4，5，6有
1+（1，4，5）=（2，5，6），
2+（1，4，5）=（3，6，7），
3+（1，4，5）=（4，7，8），
4+（1，4，5）=（5，8，9），
5+（1，4，5）=（6，9，10），
6+（1，4，5）=（7，10，11），且7+10+11=28≮30符合条件。
以上共有6组满足三角形的条件。即满足条件的三角形有6个。
当7+（1，4，5）=（8，11，12）时，因8+11+12=31〉30，则不符合条件了。