Question

设a为实数，记函数f(x)=a根号1-x2+根号1+x+根号1-x的最大值为g(a),qiu

求g(a) 过程

Answer 1

首先对于任意实数b,c,有2bc≤b^2+c^2(当且仅当b=c时，等式成立)
则b^2+2bc+c^2≤2(b^2+c^2)
(b+c)^2≤2(b^2+c^2)
若b,c非负 ，则 b+c≤[2(b^2+c^2)]^(1/2) (当且仅当b=c时，等式成立)…………（*）

于是由（*）得
根号(1+x)+根号(1-x)≤{2[(根号(1+x))^2+(根号(1-x))^2]}^(1/2)
根号(1+x)+根号(1-x)≤{2[(1+x)+(1-x)]}^(1/2)
即 根号(1+x)+根号(1-x)≤2 (当且仅当根号(1+x)=根号(1-x)时，即x=0时等式成立)

同时 a根号(1-x^2)≤a (当且仅当x=0时等式成立)

综上所述 f(x)=a根号(1-x^2)+根号(1+x)+根号(1-x)≤a+2 (当且仅当x=0时等式成立)
于是 函数f(x)的最大值为f(0)=a+2
即g(a)=a+2

Answer 2

由题意可知：1+x≧0,1-x≧0
所以 -1≦x≦1
所以 0≦根号1+x≦2
0≦根号1-x≦2
0≦根号1-x2≦1 当x=0时取最大值
所以当x=0时 函数最大 为 a+2