Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F。（1）求证：∠DCP=∠DAP
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer 1

：】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴DP/PB=CD/BF=CP/PF=1/2，
∴CD=1/2BF，CP=1/2PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=1/2PB，在Rt△PAB中，
PB^2=2^2+（1/2PB）^2，
解得PB=三分之四根号三，
则PD=三分之二根号三，
∴BD=PB+PD=2/3．