Question

求不定积分（高数上册总习题四27题）

Answer 1

∫ (x+sinx)/(1+cosx)dx
=∫x/(1+cosX)dx+∫sinx/(1+cosx)dx
=∫xsec^2(x/2)d(x/2)-∫1/(1+cosx)d(1+cosx)
=∫xd[tan(x/2)]-ln(1+cosx) （分部积分）
=xtan(x/2)-∫tan(x/2)dx-ln(1+cosx)
=xtan(x/2)+2ln∣cos(x/2)∣-ln2-ln∣cos(x/2)∣+C1
=xtan(x/2)+C

追问

倒数第二步有点看不懂耶，怎么来的？

追答

后面写掉了一个2
xtan(x/2)+2ln∣cos(x/2)∣-ln2-2ln∣cos(x/2)∣+C1

追问

ln(1+cosx)为什么等于ln2-ln∣cos(x/2)∣+C1

追答

1+cosx=2(cosx/2)^2
ln1+cosx=ln2(cosx/2)^2=ln2+2ln|cosx/2|
C1是)∫tan(x/2)dx积分产生的，∫ f(x)dx=F(x)+C C是任意常数
最后C1-ln2 还是一个任意常数，写成C

Answer 2

sinx＝2sin(x/2)cos(x/2)，1+cosx＝2(cos(x/2))^2
∫ (x+sinx)/(1+cosx)dx
＝∫x×1/2×(sec(x/2))^2dx＋∫tan(x/2)dx
＝∫xd(tan(x/2))＋∫tan(x/2)dx 前者分部积分
＝xtan(x/2)－∫tan(x/2)dx＋∫tan(x/2)dx
＝x×tan(x/2)＋C