Question

求一个例子：一个函数连续，且可偏导，但是不可微

Answer 1

f﹙x,y﹚＝xy／﹙x²＋y²﹚烂友纳 ﹙x,y﹚≠﹙0,0﹚饥没时
＝0 ﹙x,y﹚＝﹙0,0﹚告悄时
连续，偏导存在，dz在（0,0）点不存在

追问

这个原函数好像不连续吧，取x=y时当x趋近0为1/2

追答

恩，是我错了，
那这个呢？
z＝﹙x＋y﹚^﹙1／3﹚
这个连续，偏导存在，（0.0）全微分不存在

追问

这个在（0,0）处可有偏导？好像没有偏导哦，因此它是不可微的，是吧

追答

被你这么一说好像又错了，我都糊了。但下面这个绝对没错，我刚翻书了，是书上的例子
f﹙x,y﹚ ＝xy／√﹙x²＋y²﹚ x²＋y²≠0时
＝0 x²＋y²＝0时
连续
偏导存在fx﹙0,0﹚=fy﹙0,0﹚=0
Δz－[fx﹙0,0﹚·Δx＋fy﹙0,0﹚·Δy]＝Δx·Δy／√[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²]
但当﹙Δx，Δy﹚沿直线y=x趋于﹙0.0﹚时
﹛Δx·Δy／√[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²]﹜／ρ=Δx·Δy／[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²]=1/2
他不能随ρ趋于0而趋于0，这表示ρ趋于0时，Δz－[fx﹙0,0﹚·Δx＋fy﹙0,0﹚·Δy]并不是ρ的高阶无穷小，所以（0,0）点全微分不存在

Answer 2

f(x,y)=(xy)/好缓察友茄√哪橘(x^2+y^2) (x,y)!=(0,0)
=0 (x,y)=(0,0)