Question

已知f﹙x﹚＝2x㏑x,g﹙x﹚＝﹣x^2＋ax－3

已知f(x)=2xlnx,g(x)=-x^2+ax-3
(1)求函数f(x)的最小值
(2)对x∈(0,∞),不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围
（3）证明对一切x∈（0，∞），都有lnx>[1/(e^x)-2/ex)]

Answer 1

1、f'(x)=2(lnx+1)
0<x<1/e f'(x)<0 f(x)递减 x>1/e f'(x)>0 f(x)递增
所以x=1/e是极小值点，又唯一，那么就是最小值点
最小值是f(1/e)=-2/e
2、（是f(x)>=g(x)吧，请核实一下）
2xlnx<=-x^2+ax-3 a<=x+2lnx+3/x恒成立 所以a<=min{x+2lnx+3/x}
令h(x)=x+2lnx+3/x
h'(x)=1+2/x-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2
0<x<1 h'(x)<0 h(x)递减 x>1 h'(x)>0 h(x)递增
所以h(x)最小值是h(1)=4
所以a<=4
3、可以看H(x)=x/e^x-2/e
H'(x)=(1-x)/e^x
0<x<1 H'(x)>0 x>1 H'(x)<0
H(x)最大值为H(1)=-1/e
而由第一问可知xlnx>=-1/e>=x/e^x-2/e
且两个等号不同时成立
所以xlnx>x/e^x-2/e
所以lnx>(1/e^x-2/ex)