Question

已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2（n∈N*),数列{bn}为等比数列,且b1=a1,2*b3=b4

求数列｛an},{bn｝的通项公式
求数列｛an*bn}的前n项和
前一问请尽量具体 ~=~

Answer 1

一、利用an=S1 (n=1)
=Sn-Sn-1 (n≥2)
因为{an}的前n项和为Sn=n^2（n∈N*),
a1=S1=1
n≥2；
S(n-1)=(n-1)^2=n^2-2n+1
an=Sn-Sn-1=2n-1
n=1 时；a1=2*1-1=1 ；也成立
所以an的通项公式an=2n-1

数列{bn}为等比数列,且b1=a1,2*b3=b4
b1=a1=1
2*b3=b4 得到
因为等比数列公比q=b4/b3=2

所以{bn｝的通项公式
bn=b1*q^(n-1)
=2^(n-1)

二、｛an*bn}的前n项和
因为an=2n-1 ；
bn=2^(n-1)
这种等差数列 乘以 等比数列；都是错位相减法；
设｛an*bn}的前n项和 为 Pn
Pn=1*1+3*2+5*4+7*8+...+(2n-1)*2^(n-1)
2Pn=1*2+3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n
Pn-2Pn=1+(3-1)*2+(5-3)*4+(7-5)*8+...+[(2n-1)-(2n-3)]*2^(n-1)-(2n-1)*2^n
=1-(2n-1)*2^n+2*(2^n-2)
=-(2n-3)2^n-3
Pn=(2n-3)2^n+3 (前面变成常见的等比数列)

追问

bn用公式a1(1-q^n）/（1-q）代进去不是2^n-1么

追答

你是说这里？？
Pn-2Pn
=1+(3-1)*2+(5-3)*4+(7-5)*8+...+[(2n-1)-(2n-3)]*2^(n-1)-(2n-1)*2^n
=1+2^2+2^3+......+2^n-(2n-1)*2^n
=-1+2+2^2+2^3+......+2^n-(2n-1)*2^n (前面2+2^2+2^3+......+2^n；就是等比数列)
=2*（1-2^n）/(1-2) -1 - (2n-1)*2^n
=2^(n+1) - (2n-1)*2^n -3
=2*2^n-(2n-1)*2^n -3
=-(2n-3)2^n-3 = - Pn
Pn=(2n-3)2^n+3

追问

我想我明白了，xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx^_^ *-*

追答

嗯嗯；记得这种等差数列 * 等比数列的；都是用错位相减法。。。加油咯

Answer 2

1,b1=a1=S1=1。
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1，a1也适合此式。
2b2=2q^2=b4=q^3，解得：q=2。
所以，an=2n-1、bn=2^(n-1)，其中n为正整数。
2,设Tn=1+2*2+3*2^2+…+n*2^(n-1) (1)
2*(1)得：2Tn=2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n (2)
(1)-(2)得：-Tn=1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)-n*2^n=2^n-1-n^2^n
Tn=(n-1)*2^n+1

追问

bn用公式a1(1-q^n）/（1-q）代进去不是2^n-1么，2^(n-1)要怎么算

追答

a1(1-q^n）/（1-q）=1*(1-2^n)/(1-2)
不是2^n-1是啥？？？？？

Answer 3

（1）
对an：an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1 （n≥2）:
检验n=1时，S1=a1=1，满足通项；
故an=2n-1；
b1=a1=1
且公比为2：bn=2∧（n-1）
（2）
设Pn=an*bn=（2n-1）2∧（n-1）
用错位相减法：
2Pn-Pn=Pn=1-（2n-1）2∧n+4*∑2∧（n-2）=（3-2n）*2∧n-3